Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ và hình nón $(H)$ có đỉnh $A (3; 2; - 2)$ và nhận $A I$ làm trục đối xứng với $I$ là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón $(H)$ cắt mặt cầu tại $M, N$ sao cho $A M = 3 A N$ . Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu $(S)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $(H)$ .

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{71}{3}

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{70}{3}

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{74}{3}

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{76}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi hình chiếu vuông góc của

I

trên

M N

là

K

.
Dễ thấy

A N = N K = \frac{1}{3} A M

, mặt cầu

(S)

có tâm

I (1; 2; 3)

và bán kính

R = 5

Có

A M . A N = A I^{2} - R^{2} = 4 \Rightarrow A N^{2} = \frac{4}{3} \Rightarrow K N = A N = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow I K = \sqrt{I N^{2} - K N^{2}} = \frac{\sqrt{213}}{3}

.
Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu

(S)

và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón

(H)

chính là mặt cầu tâm

I (1; 2; 3)

có bán kính

I K = \frac{\sqrt{213}}{3}

.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{71}{3}

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học