Câu hỏi Toán học

Với giá trị nào của \(a\) thì hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - {a^2} - 3} \right)x + a - 3 < 0\\\left( {{a^2} + 1} \right)x - a + 2 < 0\end{array} \right.\) có nghiệm?

A.A. \(\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a <  - 3\end{array} \right.\)
B.B. - 3 < a < 1
C.C. \(\left[ \begin{array}{l}a >  - 1\\a <  - 3\end{array} \right.\)
D.D. - 3 < a <  - 1
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - {a^2} - 3} \right)x + a - 3 < 0\\\left( {{a^2} + 1} \right)x - a + 2 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( { - {a^2} - 3} \right)x < 3 - a\\\left( {{a^2} + 1} \right)x < a - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{{a - 3}}{{{a^2} + 3}}\\x < \frac{{a - 2}}{{{a^2} + 1}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{{a - 3}}{{{a^2} + 3}} < x < \frac{{a - 2}}{{{a^2} + 1}}\)

Để hệ bất phương trình có nghiệm thì:

 \(\begin{array}{l}\frac{{a - 3}}{{{a^2} + 3}} < \frac{{a - 2}}{{{a^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {a - 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 3} \right)}}{{\left( {{a^2} + 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 3} \right) < 0\\\left( {do\,\,\,\,\,\left( {{a^2} + 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} - 3{a^2} + a - 3\\ - {a^3} + 2{a^2} - 3a + 6 < 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow  - {a^2} - 2a + 3 < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a <  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Đề thi HK2 môn Toán 10 năm 2021 - Trường THPT Thủ Khoa Huân

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.