[1D3-0. 0-3]Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1} = \sqrt{2}$ và $u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}}$ với mọi $n \geq 1$ . Tìm $u_{2018}$ .

u_{2018} = \sqrt{2} \cos \frac{π}{2^{2017}}

u_{2018} = 2 \cos \frac{π}{2^{2019}}

u_{2018} = \sqrt{2} \cos \frac{π}{2^{2018}}

u_{2018} = 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Ta có:

u_{1} = \sqrt{2} = 2 \cos \frac{π}{4} = 2 \cos \frac{π}{2^{2}}

u_{2} = \sqrt{2 - \sqrt{2}} = 2 \cos \frac{π}{8} = 2 \cos \frac{π}{2^{3}}

.
Dự đoán:

u_{n} = 2 \cos \frac{π}{2^{n + 1}}

.
Chứng minh theo quy nạp ta có.

u_{1} = 2 \cos \frac{π}{4} = \sqrt{2}

, công thức

(1)

đúng với. Giả sử công thức

(1)

đúng với

n = k

k \geq 1

ta có

u_{k} = 2 \cos \frac{π}{2^{k + 1}}

.
Ta có:

u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2 \cos \frac{π}{2^{k + 1}}} = \sqrt{2 (1 + \cos \frac{π}{2^{k + 1}})} = \sqrt{4 \cos^{2} (\frac{π}{2^{k + 2}})} = 2 \cos \frac{π}{2^{k + 2}}

(vì

0 < \frac{π}{2^{k + 2}} < \frac{π}{2}

với mọi

k \geq 1

).
Công thức

(1)

đúng với

n = k + 1

.
Vậy

u_{n} = 2 \cos \frac{π}{2^{n + 1}}

\forall n \in N

. Suy ra

u_{2018} = 2 \cos \frac{π}{2^{2019}}

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi