[2D2-5. 5-4] Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình: $(m + 1) {. 16}^{x} - 2 (2 m - 3) {. 4}^{x} + 6 m + 5 = 0$ có hai nghiệm trái dấu là

4

8

1

2

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Cách 1.
Đặt

t = 4^{x}, t > 0

, phương trình đã cho trở thành:

(m + 1) t^{2} - 2 (2 m - 3) t + 6 m + 5 = 0

\Leftrightarrow m = - \frac{t^{2} + 6 t + 5}{t^{2} - 4 t + 6}

(*).
Phương trình đã cho có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm

t_{1}, t_{2}

thỏa mãn:

0 < t_{1} < 1 < t_{2}

.
Đặt

f (t) = - \frac{t^{2} + 6 t + 5}{t^{2} - 4 t + 6}

\Rightarrow f^{'} (t) = \frac{10 t^{2} - ​ 2 t - 56}{{(t^{2} - 4 t + 6)}^{2}}

. Suy ra

f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{561}}{10}

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình (*) có hai nghiệm

t_{1}, t_{2}

thỏa mãn:

0 < t_{1} < 1 < t_{2}

khi

- 4 < m < - 1

.
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán là

m = - 3

và

m = - 2

.
Cách 2:
Đặt

t = 4^{x}, t > 0

, phương trình đã cho trở thành:

(m + 1) t^{2} - 2 (2 m - 3) t + 6 m + 5 = 0

(*).
Đặt

f (x) = (m + 1) t^{2} - 2 (2 m - 3) t + 6 m + 5

.
Phương trình đã cho có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm

t_{1}, t_{2}

thỏa mãn:

0 < t_{1} < 1 < t_{2}

.
Điều đó xảy ra khi:

\{\begin{cases} (m + 1) f (1) < 0 \\ (m + 1) f (0) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (m + 1) (3 m + 12) < 0 \\ (m + 1) (6 m + 5) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 < m < - 1 \\ [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > - \frac{5}{6} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow - 4 < m < - 1

.
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán là

m = - 3

và

m = - 2

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi