[2D2-6. 6-4] Có bao nhiêu cặp số thực $(x, y)$ thỏa mãn $y$ nguyên dương và $\log \frac{3 x^{2} + 3 x + y + 1}{2 x^{2} - x + 1} = 2^{2 x^{2} - x + 1} (1 - 2^{x^{2} + 4 x + y})$ ?

A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Điều kiện:

3 x^{2} + 3 x + y + 1 > 0

(1). Ta có:

\begin{array}{l} \log \frac{3 x^{2} + 3 x + y + 1}{2 x^{2} - x + 1} = 2^{2 x^{2} - x + 1} (1 - 2^{x^{2} + 4 x + y}) \\ \Leftrightarrow \log (3 x^{2} + 3 x + y + 1) - \log (2 x^{2} - x + 1) = 2^{2 x^{2} - x + 1} - 2^{3 x^{2} + 3 x + y + 1} \\ \Leftrightarrow \log (3 x^{2} + 3 x + y + 1) + 2^{3 x^{2} + 3 x + y + 1} = \log (2 x^{2} - x + 1) + 2^{2 x^{2} - x + 1} (*) \end{array}

Xét

f (t) = \log t + 2^{t}

là hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

. Do đó:

\begin{array}{l} (*) \Leftrightarrow f (3 x^{2} + 3 x + y + 1) = f (2 x^{2} - x + 1) \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} + 3 x + y + 1 = 2 x^{2} - x + 1 (2) \\ \Leftrightarrow x^{2} + 4 x + y = 0 (* *) \end{array}

Điều kiện

(1)

luôn được thỏa mãn do

(2)

.
Vì vậy để tồn tại

(x, y)

thỏa mãn yêu cầu thì

(* *)

có nghiệm. Khi đó ta được

4 - y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 4

.
Do y nguyên dương nên

y \in \{1; 2; 3; 4\}

. Ta có 4 cặp

(x, y)

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi