[2H1-3. 4-3] Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật; $A B = a; A D = 2 a$ . Tam giác $S A B$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $S C$ và mp $(A B C D)$ bằng $45 °$ . Gọi $M$ là trung điểm của $S D$ . Tính theo $a$ khoảng cách $d$ từ điểm $M$ đến $(S A C)$ .

d = \frac{a \sqrt{1513}}{89}

d = \frac{2 a \sqrt{1315}}{89}

d = \frac{a \sqrt{1315}}{89}

d = \frac{2 a \sqrt{1513}}{89}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải

Gọi

H

là trung điểm đoạn

A B

\Rightarrow S H ⊥ (A B C D)

.
Xét

△ B C H

vuông tại

B

, có:

C H = \sqrt{4 a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{17}}{2}

.
Xét

△ S H C

vuông cân tại

H

, có:

S H = \frac{a \sqrt{17}}{2}; S C = \frac{a \sqrt{34}}{2}

.
Xét

△ S A H

vuông tại

H

, có:

S A = \sqrt{\frac{17 a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a

.
Xét

△ A B C

vuông tại

B

, có:

A C = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5}

\Rightarrow S_{△ S A C} = \frac{\sqrt{89}}{4} a^{2}

.
Ta có:

V_{S . A B C D} = V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{17}}{3}

;

V_{S . A C D} = \frac{1}{2} V = \frac{a^{3} \sqrt{17}}{6}

V_{S . A C M} = \frac{1}{2} V_{S . A C D} = \frac{a^{3} \sqrt{17}}{12}

. Mà

V_{S . M A C} = \frac{1}{3} . d . S_{△ S A C} = \frac{\sqrt{89}}{12} a^{2} . d

\Rightarrow

d = \frac{a \sqrt{1513}}{89}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi