[2H2-1. 2-2] Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ , $S A = a \sqrt{2}$ và $\hat{A C B} = 30 °$ . Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C$ là $a$ . Tính độ dài cạnh $A B$ .

A B = \frac{a \sqrt{3}}{2}

A B = \frac{a \sqrt{6}}{2}

A B = a \sqrt{6}

A B = \frac{a \sqrt{2}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Gọi

J

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy

A B C

R

là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C

r

là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

.
Kẻ đường

Δ

qua

J

và song song với

S A

. Khi đó

Δ

là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Gọi

M

là trung điểm của

S A

. Kẻ

M I ⊥ Δ

tại

I

. Khi đó

I A = I S = I B = I C

. Do đó

I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C

. Theo cách dựng

M I J A

là hình chữ nhật nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C

là

R = I A = \sqrt{M A^{2} + M I^{2}}

= \sqrt{M A^{2} + A J^{2}} = \sqrt{{(\frac{S A}{2})}^{2} + r^{2}}

.
Theo giả thiết, ta có

S A = a \sqrt{2}

\frac{A B}{\sin C} = 2 r \Leftrightarrow \frac{A B}{2 \sin C} = r

.
Theo công thức ta có

a = \sqrt{(\frac{S A}{2}) + {(\frac{A B}{2 \sin C})}^{2}} \Leftrightarrow a^{2} = \frac{a^{2}}{2} + A B^{2} \Leftrightarrow A B = \frac{a \sqrt{2}}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi