[2H3-1. 4-3] Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho ba điểm $A (8; 5; - 11), B (5; 3; - 4), C (1; 2; - 6)$ và mặt
$(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$ . Gọi điểm $M (a; b; c)$ là điểm trên $(S)$ sao cho $|\vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm $a + b$ .

6

2

4

D. 9.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Gọi là điểm thỏa mãn

\vec{N A} - \vec{N B} - \vec{N C} = \vec{0}

, suy ra

N (- 2; 0; 1)

.
Khi đó:

|\vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}| = |(\vec{M N} + \vec{N A}) - (\vec{M N} + \vec{N B}) - (\vec{M N} + \vec{N C})| = |(\vec{N A} - \vec{N B} - \vec{N C}) - \vec{M N}| = M N

.
Suy ra

|\vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|

nhỏ nhất khi

M N

nhỏ nhất. Mặt cầu

(S)

có tâm

I (2; 4; - 1)

, suy ra:

\vec{N I} = (4; 4; - 2) = (2; 2; - 1)

. Phương trình

N I = \{\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = 4 + 2 t \\ z = - 1 - t \end{matrix}

. Thay phương trình NI vào phương trình

(S)

ta được:

{(2 t)}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(- t)}^{2} = 9 \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 \\ t = - 1 \end{matrix}

.
Suy ra

N I

cắt

(S)

tại hai điểm phân biệt

N_{1} (3; 6; - 2), N_{2} (0; 2; 0)

.
Vì

N N_{1} > N N_{2}

nên MN nhỏ nhất khi và chỉ khi

M \equiv N_{2}

. Vậy

M (0; 2; 0)

là điểm cần tìm.
Suy ra:

a + b = 2.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi