Cho $a > 1; b > 1; x > 0; y > 0$ thỏa mãn $a^{2 x} = b^{y} = \sqrt[3]{a b}$ . Giá trị nhỏ nhất của $P = 4 x + y$ thuộc khoảng nào sau đây?

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

(0; 1)

[0; 1)

[2; 3)

(1; 2]

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Ta có

\{\begin{cases} a^{2 x} = \sqrt[3]{a b} \\ b^{y} = \sqrt[3]{a b} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = \log_{a} \sqrt[3]{a b} \\ y = \log_{b} \sqrt[3]{a b} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = \frac{1}{3} (1 + \log_{a} b) \\ y = \frac{1}{3} (1 + \log_{b} a) \end{cases}

.
Suy ra

P = 4 x + y = \frac{2}{3} (1 + \log_{a} b) + \frac{1}{3} (1 + \log_{b} a)

= 1 + \frac{2}{3} \log_{a} b + \frac{1}{3} \log_{b} a

\geq 1 + 2 \sqrt{\frac{2}{3} \log_{a} b . \frac{1}{3} \log_{b} a} = 1 + \frac{2}{3} \sqrt{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi