Cho bất phương trình $x^{2} - 2 x \leq |x - 2| + a x - 6$ . Giá trị dương nhỏ nhất của a để bất phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây

0, 5

1, 6

2, 2

2, 6

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Bất phương trình tương đương với

x^{2} - 2 x - |x - 2| - a x + 6 \leq 0

Đặt

f (x) = x^{2} - 2 x - |x - 2| - a x + 6 = \{\begin{cases} x^{2} - (a + 3) x + 8, x \geq 2 (1) \\ x^{2} - (a + 1) x + 4, x < 2 (2) \end{cases}

và là parabol có hoành độ đỉnh lần lượt là

x = \frac{a + 3}{2}

và

x = \frac{a + 1}{2}

TH1:

\frac{a + 3}{2} \leq 2 \Leftrightarrow a \leq 1

. Ta có bảng biến thiên của

f (x)

như sau:

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow f (\frac{a + 1}{2}) \leq 0 \Leftrightarrow 4 - \frac{{(a + 1)}^{2}}{4} \leq 0 \Leftrightarrow {(a + 1)}^{2} \geq 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a \geq 3 \\ a \leq - 5 \end{array}

So điều kiện

a \leq 1

, ta được

a \leq - 5.

TH2:

\frac{a + 1}{2} < 2 < \frac{a + 3}{2} \Leftrightarrow 1 < a < 3

. Ta có bảng biến thiên của

f (x)

như sau:

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (\frac{a + 1}{2}) \leq 0 \\ f (\frac{a + 3}{2}) \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 - \frac{{(a + 1)}^{2}}{4} \leq 0 \\ 8 - \frac{{(a + 3)}^{2}}{4} \leq 0 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} a \geq 3 \\ a \geq \sqrt{32} - 3 \end{array} \Rightarrow a \geq \sqrt{32} - 3.

So điều kiện

1 < a < 3

, ta được

\sqrt{32} - 3 \leq a < 3.

TH3:

\frac{a + 1}{2} \geq 2 \Leftrightarrow a \geq 3

. Ta có bảng biến thiên của

f (x)

như sau:

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow f (\frac{a + 3}{2}) \leq 0 \Leftrightarrow 8 - \frac{{(a + 3)}^{2}}{4} \leq 0 \Rightarrow a \geq \sqrt{32} - 3

.
So điều kiện

a \geq 3

, ta được

a \geq 3

.
KẾT QUẢ:

a \geq \sqrt{32} - 3

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi