Cho các tia $O x, O y, O z$ cố định đôi một vuông góc nhau. Trên các tia đó lần lượt lấy các điểm $A, B, C$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $O A + O B + O C + A B + B C + C A = 1$ trong đó $A, B, C$ không trùng với $O$ . Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $O A B C$ bằng $\frac{1}{m {(1 + \sqrt{n})}^{3}}$ trong đó $m, n \in ℤ$ . Giá trị của biểu thức $P = m + n$ bằng

192

150

164

111

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Đặt

O A = a, O B = b, O C = c

(a, b, c > 0)

.
Khi đó

V_{O A B C} = \frac{1}{6} a b c

và

O A + O B + O C + A B + B C + C A = a + b + c + \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}} = 1

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

1 = a + b + c + \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}} \geq a + b + c + \frac{a + b}{\sqrt{2}} + \frac{b + c}{\sqrt{2}} + \frac{c + a}{\sqrt{2}}

\Leftrightarrow 1 \geq (1 + \sqrt{2}) (a + b + c) \Leftrightarrow a + b + c \leq \frac{1}{1 + \sqrt{2}}

.
Theo BĐT Cô-si:

V_{O A B C} = \frac{1}{6} a b c \leq \frac{1}{6} {(\frac{a + b + c}{3})}^{3} \leq \frac{1}{162 {(1 + \sqrt{2})}^{3}}

.
Do đó

M a x V_{O A B C} = \frac{1}{162 {(1 + \sqrt{2})}^{3}} \Rightarrow m = 162, n = 2

\Rightarrow

P = 164

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi