Cho đa giác đều đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn ?

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:

Phân tích: Gọi ,,…, là các đỉnh của đa giác đều đỉnh. Gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều . Các đỉnh của đa giác đều chia thành cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng . Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của . Suy ra góc lớn hơn sẽ chắn cung có số đo lớn hơn . Cố định một đỉnh . Có cách chọn . Gọi ,, là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho thì và tam giác là tam giác cần đếm. Khi đó là hợp liên tiếp của nhiều nhất cung tròn nói trên. cung tròn này có đỉnh. Trừ đi đỉnh thì còn đỉnh. Do đó có cách chọn hai đỉnh ,. Vậy có tất cả tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.