Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (2 x^{2} + 1) . s i n x$ và $F (\frac{π}{2}) = π$ . Hãy tính $F (0)$ .

3 - π

3 + π

- 3 + 3 π

- 3 - 3 π

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Tính

I = \int (2 x^{2} + 1) . s i n x . d x

= - \int (2 x^{2} + 1) d (cos x)

= - (2 x^{2} + 1) . cos x + \int cos x . d (2 x^{2} + 1)

= - (2 x^{2} + 1) . cos x + 4 \int x . cos x . d x

= - (2 x^{2} + 1) . cos x + 4 \int x . dsin x

= - (2 x^{2} + 1) . cos x + 4. x . sin x - 4 \int sin x . d x

= - (2 x^{2} + 1) . cos x + 4. x . sin x + 4. cos x + C

.
Với

x = \frac{π}{2}

, ta có

- (2. \frac{π^{2}}{4} + 1) . cos \frac{π}{2} + 4. \frac{π}{2} . sin \frac{π}{2} + 4. cos \frac{π}{2} + C = π \Leftrightarrow C = - π

.
Do đó

F (x)

= - (2 x^{2} + 1) . cos x + 4. x . sin x + 4. cos x - π

. Suy ra

F (0) = 3 - π

.
Cách 2: Bấm mấy tính:
Ta có:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 x^{2} + 1) . s i n x . d x = {F (x)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = F (\frac{π}{2}) - F (0)

, với

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x) = (2 x^{2} + 1) . s i n x

.
Do đó

F (0) = F (\frac{π}{2}) - I

. Từ đó bấm máy tính

π - \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 x^{2} + 1) . s i n x . d x

và đối chiếu với các đáp án.

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi