Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm xác định trên $ℝ$ là $f' (x) = x (x^{2} - 1) \sqrt{x^{2} + 3}$ . Giả sử $a$ , $b$ là hai số thực thay đổi sao cho $a < b \leq 1$ . Giá trị nhỏ nhất của $f (a) - f (b)$ bằng

\frac{\sqrt{3} - 64}{15}

\frac{33 \sqrt{3} - 64}{15}

- \frac{\sqrt{3}}{5}

- \frac{11 \sqrt{3}}{5}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Ta có

f (b) - f (a) = \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x

= \int_{a}^{b} x (x^{2} - 1) \sqrt{x^{2} + 3} d x

.
Đặt

\sqrt{x^{2} + 3} = t

\Rightarrow x^{2} + 3 = t^{2}

\Rightarrow x d x = t d t

.
Suy ra:

f (b) - f (a) = \int_{\sqrt{a^{2} + 3}}^{\sqrt{b^{2} + 3}} (t^{2} - 4) . t . t d t

= \int_{\sqrt{a^{2} + 3}}^{\sqrt{b^{2} + 3}} (t^{4} - 4 t^{2}) d t

= {(\frac{t^{5}}{5} - \frac{4 t^{3}}{3})|}_{\sqrt{a^{2} + 3}}^{\sqrt{b^{2} + 3}}

= [\frac{{(b^{2} + 3)}^{2} \sqrt{b^{2} + 3}}{5} - \frac{4 (b^{2} + 3) \sqrt{b^{2} + 3}}{3}] - [\frac{{(a^{2} + 3)}^{2} \sqrt{a^{2} + 3}}{5} - \frac{4 (a^{2} + 3) \sqrt{a^{2} + 3}}{3}]

.
Như vậy:

f (a) - f (b) = (\frac{{(a^{2} + 3)}^{2} \sqrt{a^{2} + 3}}{5} - \frac{4 (a^{2} + 3) \sqrt{a^{2} + 3}}{3}) - (\frac{{(b^{2} + 3)}^{2} \sqrt{b^{2} + 3}}{5} - \frac{4 (b^{2} + 3) \sqrt{b^{2} + 3}}{3})

.
Xét hàm

g (u) = \frac{u^{5}}{5} - \frac{4 u^{3}}{3}

.
+ Với

u = \sqrt{a^{2} + 3}

. Vì

a < 1

nên

u \geq \sqrt{3}

.
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của

g (u)

trên

[\sqrt{3}; + \infty)

.
Ta có:

g^{'} (u) = u^{4} - 4 u^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u = 0 \\ u = - 2 \\ u = 2 \end{array}

.
Bảng biến thiên:

Suy ra

\min_{[\sqrt{3}; + \infty)} g (u) = g (2)

= - \frac{64}{15}

. Khi

u = 2 \Rightarrow \sqrt{a^{2} + 3} = 2 \Leftrightarrow a^{2} = 1

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - 1 \end{array}

. Vì

a < 1

nên

a = - 1

.
Với

a = - 1

ta có

- 1 < b \leq 1

, suy ra

\sqrt{3} \leq \sqrt{b^{2} + 3} \leq 2

.
Ta tìm giá trị lớn nhất của

g (u)

trên

[\sqrt{3}; 2]

. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy

\max_{[\sqrt{3}; 2]} g (u) = g (\sqrt{3})

= - \frac{11 \sqrt{3}}{5}

. Khi đó

\sqrt{b^{2} + 3} = \sqrt{3}

\Leftrightarrow b = 0

.
Vậy

f (a) - f (b)

đạt giá trị nhỏ nhất là

- \frac{64}{15}

- (- \frac{11 \sqrt{3}}{5})

= \frac{33 \sqrt{3} - 64}{15}

khi

a = - 1

;

b = 0

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học