Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ \ \{- 1; 0\}$ thỏa mãn điều kiện: $f (1) = - 2 \ln 2$ và $x . (x + 1) . f^{'} (x) + f (x) = x^{2} + x$ $(1)$ . Biết $f (2) = a + b . \ln 3$ $(a, b \in ℚ)$ . Giá trị của $2 (a^{2} + b^{2})$ là:

\frac{27}{4}

9

\frac{3}{4}

\frac{9}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Xét trên đoạn

[1; 2]

, chia cả hai vế của phương trình

(1)

cho

{(x + 1)}^{2}

, ta được:

\frac{x}{x + 1} \cdot f^{'} (x) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot f (x) = \frac{x}{x + 1}

\Rightarrow {[\frac{x}{x + 1} \cdot f (x)]}^{'} = \frac{x}{x + 1}

\Rightarrow \int {[\frac{x}{x + 1} \cdot f (x)]}^{'} d x = \int \frac{x}{x + 1} d x

\Rightarrow \frac{x}{x + 1} \cdot f (x) + C_{1} = \int (1 - \frac{1}{x + 1}) d x

\Rightarrow \frac{x}{x + 1} \cdot f (x) = x - \ln |x + 1| + C (2)

.
Theo giả thiết,

f (1) = - 2 \ln 2

nên thay

x = 1

vào phương trình

(2)

, ta được:

\frac{1}{2} f (1) = 1 - \ln 2 + C \Leftrightarrow - \ln 2 = 1 - \ln 2 + C \Leftrightarrow C = - 1

.
Thay

x = 2

vào

(2)

, ta được:

\frac{2}{3} f (2) = 2 - \ln 3 - 1 \Leftrightarrow f (2) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \ln 3

\Rightarrow a = \frac{3}{2}, b = - \frac{3}{2}

. Vậy

2 (a^{2} + b^{2}) = 9

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi