Lời giải:Vì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc 3
\(\Rightarrow a\ne 0.\)
Từ giả thiết ta có: \(f\left( x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-\frac{1}{3} \right)\left( x-\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{6}a\left( 6{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x+1 \right).\)
Khi đó: \(y'=\frac{1}{6}a\left( 18{{x}^{2}}+2x-4 \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{18}\)
Suy ra đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.
Từ đó ta có phương trình \(f\left[ {\sin \left( {{x^2}} \right)} \right] = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin \left( {{x^2}} \right) = {a_1} \in \left( { - 1;0} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\
\sin \left( {{x^2}} \right) = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\\
\sin \left( {{x^2}} \right) = {a_2} \in \left( {\frac{1}{2};1} \right]{\rm{ }}\left( 3 \right)
\end{array} \right.\)
* Giải \(\left( 1 \right).\)
Vì \(x\in \left[ -\sqrt{\pi };\sqrt{\pi } \right]\) nên \({{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]\Rightarrow \sin \left( {{x}^{2}} \right)\in \left[ 0;1 \right].\) Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) không có nghiệm thỏa mãn đề bài.
* \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}=k\pi .\)
Vì \({{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]\) nên ta phải có \(0\le k\pi \le k,\pi \in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 0\le k\le 1,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\}.\)
Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có 3 nghiệm thỏa mãn là: \({{x}_{1}}=-\sqrt{\pi };{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=\sqrt{\pi }.\)
* \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& {{x}^{2}}=\arcsin {{a}_{2}}+k2\pi \\
& {{x}^{2}}=\pi -\arcsin {{a}_{2}}+k2\pi \\
\end{align} \right., (với \ \arcsin {{a}_{2}}\in \left[ \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right]).\)
Vì \({{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]\) nên ta thấy phương trình \(\left( 3 \right)\) có các nghiệm thỏa mãn là \(x=\pm \sqrt{\arcsin {{a}_{2}}}\) và \(x=\pm \sqrt{\pi -\arcsin {{a}_{2}}}.\)
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
