Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x - 1)}^{3} (x^{2} + (4 m - 5) x + m^{2} - 7 m + 6), \forall x \in ℝ$ . Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $g (x) = f (|x|)$ có điểm cực trị?

2

3

4

5

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Nhận xét: hàm số

g (x) = f (|x|)

là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục

O y

. Để hàm số

g (x) = f (|x|)

có 5 điểm điểm cực trị thì

f (x)

phải có hai điểm cực trị dương.

f' (x) = {(x - 1)}^{3} (x^{2} + (4 m - 5) x + m^{2} - 7 m + 6), \forall x \in ℝ

\begin{array}{l} f' (x) = 0 (1) \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} + (4 m - 5) x + m^{2} - 7 m + 6 = 0 (2) \end{array} \end{array}

.
+ Nếu phương trình

(2)

có nghiệm

x = 1

thì

m = 1

hoặc

m = 2

.
Với

m = 1

, Phương trình

(1)

có hai nghiệm

x = 1, x = 0

nhưng đạo hàm chỉ đổi dấu qua

x = 0

nên hàm số

f (x)

có một điểm cực trị. Suy ra hàm số

g (x) = f (|x|)

cũng có một điểm cực trị .
Với

m = 2

cũng tương tự , hàm số

g (x) = f (|x|)

không có 5 điểm điểm cực trị .
+ Nếu phương trình

(2)

vô nghiệm, phương trình

(1)

có một nghiệm

x = 1

. Trường hợp này ta cũng thấy không thỏa mãn đề bài.
+ Nếu phương trình

(2)

có nghiệm kép ,

Δ = 12 m^{2} - 12 m + 1 = 0

. Ta thấy

m \notin ℤ

.
+Nếu phương trình

(2)

có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

, giả sử

x_{1} < x_{2}

. Để hàm số

g (x) = f (|x|)

có

điểm cực trị , phương trình

(2)

cần có nghiệm thỏa mãn

x_{1} \leq 0 < x_{2}

x_{2} \neq 1

\{\begin{cases} x_{1} < 0 < x_{2} \\ x_{2} \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 7 m + 6 < 0 \\ m^{2} - 3 m + 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \in \{3; 4; 5\}

Trường hợp

x_{1} = 0

, thay vào

(2)

ta có

m^{2} - 7 m + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 6 \end{array}

m = 1

m = 6

thì

x_{2} = - 19

Vậy

m \in \{3; 4; 5\}

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học