Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành và có thể tích là $V$ . Gọi $P$ là điểm trên cạnh $S C$ sao cho $S C = 5 S P .$ Một mặt phẳng $(α)$ qua $A P$ cắt $S B$ và $S D$ lần lượt tại $M$ và $N .$ Gọi $V_{1}$ là thể tích của hình chóp $S . A M N P .$ Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{V_{1}}{V}$ .

\frac{1}{15}

\frac{1}{25}

\frac{3}{25}

\frac{2}{15}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Đặt

\frac{S B}{S M} = x

;

\frac{S D}{S N} = y

khi đó

x; y \geq 1.

Ta có:

V_{1} = V_{S M A N} + V_{S M P N} = V_{S M P A} + V_{S P N A}

\frac{V_{S M A N}}{V_{S B A D}} + \frac{V_{S M P N}}{V_{S B C D}} = \frac{1}{x} . 1. \frac{1}{y} + \frac{1}{x} . \frac{1}{5} . \frac{1}{y} = \frac{6}{5 x y} \Leftrightarrow \frac{V_{S M A N} + V_{S M P N}}{\frac{V}{2}} = \frac{6}{5 x y} \Leftrightarrow V_{1} = \frac{3 V}{5 x y} (1)

\frac{V_{S M P A}}{V_{S B C A}} + \frac{V_{S P N A}}{V_{S C D A}} = \frac{1}{x} . \frac{1}{5} . 1 + \frac{1}{5} . \frac{1}{y} . 1 = \frac{y + x}{5 x y} \Leftrightarrow \frac{V_{S M P A} + V_{S P N A}}{\frac{V}{2}} = \frac{x + y}{5 x y} \Leftrightarrow V_{1} = \frac{V (x + y)}{10 x y} (2)

Từ và suy ra

x + y = 6 \Rightarrow y = 6 - x \geq 1 \Rightarrow x \leq 5

.
Do đó từ ta được

\frac{V_{1}}{V} = \frac{3}{5 x (6 - x)}

.
Xét

f (x) = x (6 - x) = - x^{2} + 6 x

với

x \in [1; 5]

Ta có:

f' (x) = - 2 x + 6

;

f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 3.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra

{(\frac{V_{1}}{V})}_{\max} = \frac{3}{5} . \frac{1}{5} = \frac{3}{25}

khi

x = 1

hoặc

x = 5

nghĩa là

M \equiv B

hoặc

N \equiv D

.
Bình luận: Rõ ràng từ bảng biến thiên ta còn có thể tìm được

{(\frac{V_{1}}{V})}_{\min} = \frac{3}{5} . \frac{1}{9} = \frac{1}{15}

khi

x = 3 \Leftrightarrow y = 3 \Leftrightarrow M N / / B D

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi