Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành và có thể tích là $V$ . Điểm $P$ là trung điểm của $S C$ . Một mặt phẳng qua $A P$ cắt hai cạnh $S B$ và $S D$ lần lượt tại $M$ và $N$ . Gọi $V_{1}$ là thể tích của khối chóp $S . A M P N$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{V_{1}}{V}$ .

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Gọi

O

là tâm của hình bình hành

A B C D

và

I

là trọng tâm của tam giác

S A C

.
Gọi

d

là đường thẳng đi qua

I

và cắt

S B

S D

lần lượt tại

M

và

N

.
Giả sử

\frac{S M}{S B} = x

(0 < x < 1)

;

\frac{S N}{S D} = y

(0 < y < 1)

.
Ta có

\frac{V_{1}}{V} = \frac{V_{S . M A P}}{V} + \frac{V_{S . A N P}}{V} = \frac{V_{S . M A N}}{V} + \frac{V_{S . M N P}}{V}

\Rightarrow \frac{V_{1}}{V} = \frac{x + y}{2} = \frac{3 x y}{2}

mà

x + y = 3 x y \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3

.
Lại có

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{2}{\sqrt{x y}} \Leftrightarrow \sqrt{x y} \geq \frac{2}{3} \Leftrightarrow x y \geq \frac{4}{9}

\Rightarrow \frac{V_{1}}{V} \geq \frac{2}{3}

. Dấu “=” xảy ra khi

x = y = \frac{2}{3}

.
Vậy

\min \frac{V_{1}}{V} = \frac{2}{3}

khi

\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = \frac{2}{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi