Cho hình chóp $S A B C D$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $S A B, S B C, S C D, S D A$ . Gọi $O$ là điểm bất kỳ trên mặt phẳng đáy $A B C D$ . Biết thể tích khối chóp $O M N P Q$ bằng $V$ . Tính thể tích khối chóp $S A B C D$ .

\frac{27}{8} V

\frac{27}{2} V

\frac{9}{4} V

\frac{27}{4} V

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Ta có

(M N P Q) // (A B C D) \Rightarrow d (S, (M N P Q)) = 2 d (O, (M N P Q)) \Rightarrow V_{S M N P Q} = 2 V_{O M N P Q} = 2 V

\frac{V_{S M N Q}}{V_{S E F K}} = \frac{S M}{S E} . \frac{S N}{S F} . \frac{S Q}{S K} = \frac{2}{3} . \frac{2}{3} . \frac{2}{3} = \frac{8}{27} \Rightarrow V_{S M N Q} = \frac{8}{27} V_{S E F K}

\frac{V_{S N P Q}}{V_{S F G K}} = \frac{S N}{S F} . \frac{S P}{S G} . \frac{S Q}{S K} = \frac{2}{3} . \frac{2}{3} . \frac{2}{3} = \frac{8}{27} \Rightarrow V_{S N P Q} = \frac{8}{27} V_{S F G K}

\Rightarrow V_{S M N Q} + V_{S N P Q} = \frac{8}{27} V_{S E F K} + \frac{8}{27} V_{S F G K} \Leftrightarrow V_{S M N P Q} = \frac{8}{27} V_{S E F G K} \Rightarrow V_{S E F G K} \frac{27}{8} V_{S M N P Q} = \frac{27}{4} V

.
Ta có:

\frac{S_{E B F}}{S_{A B C}} = \frac{\frac{1}{2} B E . B F . s i n \hat{B}}{\frac{1}{2} B A . B C . s i n \hat{B}} = \frac{1}{4} \Rightarrow S_{E B F} = \frac{1}{4} S_{A B C} = \frac{1}{8} S_{A B C D}

.
Khi đó,

S_{E F G K} = S_{A B C D} - (S_{A B F} + S_{F C G} + S_{G D K} + S_{K A E}) = S_{A B C D} - 4 S_{E B F}

\Rightarrow S_{E F G K} = \frac{1}{2} S_{A B C D}

Nên

\frac{V_{S E F G K}}{V_{S A B C D}} = \frac{\frac{1}{3} d (S, (E F G K)) S_{E F G K}}{\frac{1}{3} d (S, (A B C D)) S_{A B C D}} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{S A B C D} = 2 V_{S E F G K} = \frac{27}{2} V

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi