Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , cạnh bên $A A^{'} = 2 a$ . Hình chiếu vuông góc của $A^{'}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trung điểm của đoạn $B G$ (với $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ ). Tính cosin của góc $φ$ giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(A B B^{'} A^{'})$ .

cos φ = \frac{1}{\sqrt{165}}

cos φ = \frac{1}{\sqrt{134}}

cos φ = \frac{1}{\sqrt{126}}

cos φ = \frac{1}{\sqrt{95}}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:

Gọi

M, N

lần lượt là trung điểm của

A C, A B

. Gọi

I

là trung điểm của

B G

.
Qua

I

kẻ đường thẳng song song với

C N

cắt

A B

tại

K

thì

I K ⊥ A B

(do ) (1).
Vì

A^{'} I ⊥ (A B C)

nên

A^{'} I ⊥ A B

(2). Từ (1) và (2) suy ra

A B ⊥ (A^{'} K I)

. Do đó

φ = \hat{A^{'} K I}

.
Vì

I

là trung điểm

B G

nên suy ra

I K = \frac{1}{2} G N

= \frac{1}{2} . \frac{1}{3} C N

= \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2}

= \frac{a}{4 \sqrt{3}}

.
Trong tam giác vuông

A I M

ta có

A I^{2} = A M^{2} + M I^{2}

= {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}

= \frac{7 a^{2}}{12}

.
Trong tam giác vuông

A^{'} A I

ta có

A^{'} I^{2} = A^{'} A^{2} - A I^{2}

= {(2 a)}^{2} - \frac{7 a^{2}}{12}

.
Trong tam giác vuông

A^{'} K I

ta có

A^{'} K^{2} = A^{'} I^{2} + K I^{2}

= \frac{41 a^{2}}{12} + {(\frac{a}{4 \sqrt{3}})}^{2}

= \frac{165 a^{2}}{48}

.
Suy ra

A^{'} K = \frac{a \sqrt{165}}{4 \sqrt{3}}

. Từ đó ta có

cos φ = \frac{K I}{A^{'} K}

= \frac{\frac{a}{4 \sqrt{3}}}{\frac{a \sqrt{165}}{4 \sqrt{3}}}

= \frac{1}{\sqrt{165}}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi