Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $r$ và chiều cao cũng bằng $r$ . Một hình vuông $A B C D$ có hai cạnh $A B, C D$ lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy; còn cạnh $B C, A D$ không phải là đường sinh của hình trụ. Tang của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy bằng

1

\frac{\sqrt{6}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{3}

\frac{\sqrt{15}}{5}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

M N P Q

là hình chữ nhật cho

M N

đi qua tâm

O

P Q

đi qua tâm

O^{'}

.
Mặt phẳng

(M N P Q) \cap (A B C D) = I I^{'}

(M N P Q)

cắt mp đáy theo giao tuyến

M N

.
Khi đó góc giữa mặt phẳng

(A B C D)

và mặt đáy là góc

\hat{H I I^{'}}

, với

I^{'} H ⊥ M N

.
Đặt

A B = x \Rightarrow I I^{'} = x; I B = \frac{x}{2}; O I = \sqrt{O B^{2} - I B^{2}} = \sqrt{r^{2} - \frac{x^{2}}{4}}; O H = O^{'} I^{'} = \sqrt{r^{2} - \frac{x^{2}}{4}}

\Rightarrow I H = O I + I H = 2 \sqrt{r^{2} - \frac{x^{2}}{4}}

.
Vì

Δ I I^{'} H

vuông tại

H

nên

I^{'} I^{2} = I H^{2} + I^{'} H^{2} \Leftrightarrow x^{2} = r^{2} + 4 (r^{2} - \frac{x^{2}}{4}) \Leftrightarrow x^{2} = \frac{5 r^{2}}{2}

\Rightarrow I H = 2 \sqrt{r^{2} - \frac{5 r^{2}}{8}} = \frac{r \sqrt{3}}{\sqrt{2}}

. Vậy

\tan \hat{H I I^{'}} = \frac{I^{'} H}{I H} = \frac{r}{\frac{r \sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi