Cho hình vuông $A B C D$ cạnh bằng 1, điểm $M$ là trung điểm $C D$ . Cho hình vuông $A B C D$ quay quanh trục là đường thẳng $A M$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó.

\frac{7 \sqrt{10}}{15} π

\frac{7 \sqrt{5}}{30} π

\frac{7 \sqrt{2}}{30} π

\frac{7 \sqrt{2}}{15} π

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

N

là giao điểm của

B C

và

A M

;

H

K

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

B

C

trên

A M

. Gọi

V_{1}

V_{2}

V_{3}

V_{4}

lần lượt là thể tích các khối nón được sinh ra khi ta quay các tam giác

A B H

N B H

M C K

N C K

quanh trục

A M

. Khi đó thể tích của vật thể cần tìm là

V = (V_{1} + V_{2}) - (V_{3} + V_{4}) = \frac{1}{3} π B H^{2} . A N - \frac{1}{3} π B K^{2} . M N

.
Tam giác

A B N

có

C M

là đường trung bình nên

B N = 2 B C = 2

, suy ra

\frac{1}{B H^{2}} = \frac{1}{B A^{2}} + \frac{1}{B N^{2}} \Rightarrow B H = \frac{2}{\sqrt{5}}

A N^{2} = B A^{2} + B N^{2} \Rightarrow A N = \sqrt{5}

A M = \frac{A N}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}

.
Tam giác

B H N

có

C K

là đường trung bình nên

C K = \frac{B H}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}

.
Vậy

V = \frac{1}{3} π . \frac{4}{5} . \sqrt{5} - \frac{1}{3} π . \frac{1}{5} . \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{7 \sqrt{5}}{30} π

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi