Cho khối lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ cạnh $a$ . Các điểm $M, N$ lần lượt di động trên các tia $A C, B' D'$ sao cho $A M + B' N = a \sqrt{2}$ . Thể tích khối tứ diện $A M N B'$ có giá trị lớn nhất là :

\frac{a^{3}}{12}

\frac{a^{3}}{6}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Đặt

a = 1; A M = x; B^{'} N = y

với

\{\begin{cases} 0 \leq x; y \leq \sqrt{2} \\ x + y = \sqrt{2} \end{cases}

.
Ta có: Tứ diện

D^{'} A B^{'} C

là tứ diện đều cạnh

\sqrt{2}

\Rightarrow D^{'} H = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(\frac{2}{3} . \frac{\sqrt{2} . \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

.
Ta có , tam giác

A B^{'} C

đều cạnh

\sqrt{2}

\Rightarrow S_{Δ A B^{'} M} = \frac{1}{2} . A B^{'} . A M . \sin 60^{0} = \frac{1}{2} . \sqrt{2} . x . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x \sqrt{6}}{4}

.
Ta lại có:

\frac{d (N; (A B^{'} C))}{d (D^{'}; (A B^{'} C) ​)} = \frac{B^{'} N}{B^{'} D^{'}} = \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow d (N; (A B^{'} C)) = \frac{y}{\sqrt{2}} . d (D^{'}; (A B^{'} C) ​) = \frac{y}{\sqrt{2}} . \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{y \sqrt{6}}{3}

.
Ta có:

V_{N A B^{'} M} = \frac{1}{3} . S_{Δ A B^{'} M} . d (N; (A B^{'} M)) = \frac{1}{3} . \frac{x \sqrt{6}}{4} . \frac{y \sqrt{6}}{3} = \frac{1}{6} x y \leq \frac{1}{6} . {(\frac{x + y}{2})}^{2} = \frac{1}{12}

.
Vậy

\max V_{N A B^{'} M} = \frac{a^{3}}{12}

khi

x = y = \frac{a \sqrt{2}}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi