Cho tứ diện đều có thể tích bằng $\frac{1}{3}$ . Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

R = \frac{\sqrt{3}}{2}

R = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

R = \frac{3 \sqrt{2}}{4}

R = \frac{\sqrt{6}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Giả sử tứ diện đều là

S . A B C

có cạnh

a

Gọi

K

là trung điểm của

B C

H

là hình chiếu của

S

trên

(A B C)

.
Khi đó

S H

là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

.
Ta có

A H = \frac{2}{3} A K = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

và

S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . A K . B C . S H = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

.
Theo đề bài ta có

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \sqrt{2}

.
Trong mặt phẳng

(S A K)

gọi

d

là đường trung trực của cạnh

S A

và

\{\begin{cases} d \cap S A = M \\ d \cap S H = I \end{cases}

thì

I

là tâm mặt cấu ngoại tiếp tứ diện

S . A B C

co bán kính

R = S I

.
Trong tam giác

S A H

ta có:

S I . S H = S M . S A \Rightarrow S I = \frac{S M . S A}{S H} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} . \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2} . \sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi