Cho tứ diện $S A B C$ có $S A = S B = S C = 1.$ Mặt phẳng $(α)$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ diện và cắt $S A, S B, S C$ lần lượt tại $A_{1}, B_{1}, C_{1} .$ Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{1}{S A_{1} . S B_{1}} + \frac{1}{S B_{1} . S C_{1}} + \frac{1}{S C_{1} . S A_{1}} .$

\frac{16}{3}

\frac{4}{9}

\frac{16}{9}

\frac{4}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

G

là trọng tâm tứ diện nên

\vec{S G} = \frac{1}{4} (\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C}) = \frac{S A}{4 S A_{1}} \vec{S A_{1}} + \frac{S B}{4 S B_{1}} \vec{S B_{1}} + \frac{S C}{4 S C_{1}} \vec{S C_{1}} .

Mà

G, A_{1}, B_{1}, C_{1}

đồng phẳng dẫn đến

\frac{S A}{4 S A_{1}} + \frac{S B}{4 S B_{1}} + \frac{S C}{4 S C_{1}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{S A_{1}} + \frac{1}{S B_{1}} + \frac{1}{S C_{1}} = 4.

Suy ra,

\frac{1}{S A_{1} . S B_{1}} + \frac{1}{S B_{1} . S C_{1}} + \frac{1}{S C_{1} . S A_{1}} \leq \frac{1}{3} {(\frac{1}{S A_{1}} + \frac{1}{S B_{1}} + \frac{1}{S C_{1}})}^{2} = \frac{16}{3} .

Dấu bằng xảy ra khi

S A_{1} = S B_{1} = S C_{1} = \frac{3}{4} S A = \frac{3}{4}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi