Lời giải:.JPG)
Gọi \(I,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,BC.\) Ta có \(\left\{ \begin{align} & BI\bot SA \\ & CI\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow SA\bot \left( BIC \right)\) và \({{V}_{S.IBC}}={{V}_{A.IBC}}.\)
Lại có \(BI=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{I}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{2}.\)
Và \(IH=\sqrt{I{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{4-{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{2}.\)
Diện tích tam giác \(IBC\) là \({{S}_{\Delta \,IBC}}=\frac{1}{2}.IH.BC=\frac{y}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)
Suy ra \({{V}_{S.IBC}}={{V}_{A.IBC}}=\frac{1}{3}.\frac{x}{2}.\frac{y}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{xy}{24}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)
Khi đó, thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \({{V}_{S.ABC}}=2\,{{V}_{S.IBC}}=\frac{xy}{12}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)
Ta có \(xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\)\(\Rightarrow \)\(V\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{24}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)
Đặt \(t=\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\in \left( 0;2 \right),\) khi đó \(V\le f\left( t \right)=\frac{t\left( 4-{{t}^{2}} \right)}{24}\le \frac{16\sqrt{3}}{9}\) (khảo sát hàm số).
Vậy giá trị lớn nhất của \({{V}_{S.ABC}}\) là \({{V}_{\max }}=\frac{2\sqrt{3}}{27}.\)
Chọn B.
