Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{3} - 3 x^{2} + m|$ trên đoạn $[1; 3]$ nhỏ hơn $4 ?$

3

4.

2

D.Vô số.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Đặt

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m

liên tục trên

[1; 3] .

Ta có:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \notin [1; 3] \\ x = 2 \in [1; 3] \end{array} .

f (1) = m - 2; f (2) = m - 4; f (3) = m .

Suy ra:

\{\begin{cases} \max_{[1; 3]} f (x) = f (3) = m \\ \min_{[1; 3]} f (x) = f (2) = m - 4 \end{cases} \Rightarrow \max_{[1; 3]} |f (x)| = \max_{[1; 3]} \{|m|; |m - 4|\} .

Cách 1:
-Trường hợp 1:

\{\begin{cases} |m| \leq |m - 4| \\ \max_{[1; 3]} \{|m|; |m - 4|\} = |m - 4| < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} \leq m^{2} - 8 m + 16 \\ - 4 < m - 4 < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 2 \\ 0 < m < 8 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m \leq 2.

Vì

m \in ℤ

nên

m = 1; m = 2.

-Trường hợp 2:

\{\begin{cases} |m - 4| < |m| \\ \max_{[1; 3]} \{|m|; |m - 4|\} = |m| < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 8 m + 16 < m^{2} \\ - 4 < m < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 2 \\ - 4 < m < 4 \end{cases} \Leftrightarrow 2 < m < 4.

Vì

m \in ℤ

nên

m = 3.

Cách 2:

\max_{[1; 3]} |f (x)| < 4 \Leftrightarrow \{\begin{cases} |m| < 4 \\ |m - 4| < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 < m < 4 \\ - 4 < m - 4 < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 < m < 4 \\ 0 < m < 8 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 4.

Vì

m \in ℤ

nên

m = 1; m = 2; m = 3.

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số

m

\Rightarrow

Chọn đáp án A

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi