[DS12. C2. 4. D04. d] Cho hai số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $4^{a b} {. 2}^{a + b} = \frac{8 (1 - a b)}{a + b}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a b + 2 a b^{2}$ bằng

3

1

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

\frac{3}{17}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Từ giả thiết suy ra

1 - a b > 0

4^{a b} {. 2}^{a + b} = \frac{8 (1 - a b)}{a + b}

\Leftrightarrow (a + b) {. 2}^{a + b} = \frac{8 (1 - a b)}{2^{2 a b}}

\Leftrightarrow (a + b) {. 2}^{a + b} = (2 - 2 a b) {. 2}^{2 - 2 a b}

.
Xét hàm số

f (t) = t {. 2}^{t}

với

t \in (0; + \infty) = D

. Dễ thấy hàm số

f (t)

liên tục trên

D

và

f^{'} (t) = 2^{t} + t {. 2}^{t} . \ln 2 > 0, \forall t \in D

suy ra

f (t)

là hàm số đồng biến trên

D

\Leftrightarrow a + b = 2 - 2 a b

\Rightarrow a (1 + 2 b) = 2 - b

. Từ, suy ra

2 - b > 0 \Rightarrow b < 2

.
Ta được

P = a b + 2 a b^{2} = b a (1 + 2 b) \overset{(2)}{=} b (2 - b)

.
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta được

P = b (2 - b) \leq {[\frac{b + (2 - b)}{2}]}^{2} = 1

.
Vậy

\max P = 1

, đạt được khi và chỉ khi

\{\begin{cases} a = \frac{1}{3} \\ b = 1 \end{cases}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi