Gọi là là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình
$\{\begin{matrix} (m^{2} + 2 m) x + (1 - m^{2}) y + m^{2} - 2 m - 2 = 0 & (1) \\ x^{2} + y^{2} + 2 x - 9 = 0 & (2) \end{matrix}$
có hai nghiệm thực phân biệt $(x_{1}; y_{1}),$ $(x_{2}; y_{2})$ sao cho biểu thức ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng giá trị của các phần tử thuộc $S$ bằng

1

2

- 1

0

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Nhận xét là phương trình đường tròn giả sử là

(C)

có tâm

I (- 1; 0),

bán kính

R = \sqrt{10} .

là phương trình đường thẳng giả sử là

d

.
Nhận thấy

d

luôn đi qua

A (1; 2)

với mọi

m .

Ta có:

\vec{I A} = (2; 2) \Rightarrow I A = \sqrt{8} < R \Rightarrow A

nằm bên trong

(C)

\Rightarrow \forall m, d

luôn cắt

(C)

tại hai điểm phân biệt

M (x_{1}; y_{1}),

N (x_{2}; y_{2}),

với

(x_{1}; y_{1}),

(x_{2}; y_{2})

là các nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ta có:

M N^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} .

Xét

d

có VTCP

\vec{u} = (m^{2} - 1; m^{2} + 2 m) .

Gọi

H

là trung điểm

M N \Rightarrow I H ⊥ M N

M N^{2} = 4 M H^{2} = 4 (R^{2} - I H^{2}) \geq 4 (R^{2} - A I^{2}) = 4 (10 - 8) = 8.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

H

trùng

A

hay

I A ⊥ d

\Leftrightarrow

\vec{A I} . \vec{u} = 0

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 (m^{2} - 1) + 2 (m^{2} + 2 m) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 m^{2} + 2 m - 1 = 0 (3) . \end{array}

Nhận xét

(3)

luôn có 2 nghiệm phân biệt

m

và có tổng hai nghiệm bằng

- 1.

Vậy tập

S

có hai phần tử và tổng của chúng bằng

- 1.

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi