Gọi $S$ là tập hợp tất cả các cặp số thực $(x; y)$ thỏa mãn $0 < x \leq 1, 0 < y \leq 1$ . Chọn ngẫu nhiên một phần tử $(x; y)$ thuộc $S$ . Xác suất để phần tử chọn ra thỏa mãn $[\log_{2} (\frac{1}{x})]$ và $[\log_{5} (\frac{1}{y})]$ đều là các số nguyên chẵn bằng

\frac{5}{36}

\frac{5}{9}

\frac{2}{9}

\frac{5}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Với

0 < x \leq 1, 0 < y \leq 1

suy ra

\log_{2} (\frac{1}{x}) \geq 0 \Rightarrow [\log_{2} (\frac{1}{x})] \geq 0; [\log_{5} (\frac{1}{y})] \geq 0

.
Khi đó

[\log_{2} (\frac{1}{x})] = 2 k (k \geq 0, k \in ℤ)

\Leftrightarrow 2 k \leq \log_{2} (\frac{1}{x}) \leq 2 k + 1

\Leftrightarrow 2^{2 k} \leq \frac{1}{x} < 2^{2 k + 1} \Leftrightarrow 2^{- 2 k - 1} < x \leq 2^{- 2 k}

.
Vậy

x \in (2^{- 2 k - 1}; 2^{- 2 k}], k = 0, 1, . . . .

độ dài của tập này bằng

\sum_{k = 0}^{+ \infty} (2^{- 2 k} - 2^{- 2 k - 1}) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} 2^{- 2 k - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + . . . = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3}

.
Tương tự

[\log_{5} (\frac{1}{y})] = 2 k

(k \geq 0, k \in ℤ)

\Leftrightarrow 2 k \leq \log_{5} (\frac{1}{y}) \leq 2 k + 1

\Leftrightarrow 5^{2 k} \leq \frac{1}{y} < 5^{2 k + 1} \Leftrightarrow 5^{- 2 k - 1} < y \leq 5^{- 2 k}

Vậy

y \in (5^{- 2 k - 1}; 5^{- 2 k}], k = 0, 1, . . . .

độ dài của tập này bằng

\sum_{k = 0}^{+ \infty} (5^{- 2 k} - 5^{- 2 k - 1})

= \sum_{k = 0}^{+ \infty} {4. 5}^{- 2 k - 1} = 4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{125} + \frac{1}{3125} + . . .) = 4. \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{5}{6}

.
Vậy xác suất cần tìm bằng

\frac{2}{3} . \frac{5}{6} = \frac{5}{9}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi