[HH12. C3. 3. D09. c] Trong không gian $O x y z$ , cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ , các đỉnh $B (a; 0; 0)$ , $D (0; a; 0)$ , $A^{'} (0; 0; b)$ với $a, b > 0$ và $a + b = 2$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C C^{'}$ . Thể tích của khối tứ diện $B D A^{'} M$ có giá trị lớn nhất bằng

\frac{64}{27}

\frac{32}{27}

\frac{8}{27}

\frac{4}{27}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải

Tọa độ điểm

C (a; a; 0), C' (a; a; b), M (a; a; \frac{b}{2})

\vec{B A'} = (- a; 0; b), \vec{B D} = (- a; a; 0), \vec{B M} = (0; a; \frac{b}{2})

[\vec{B A',} \vec{B D}] = (- a b; - a b; - b^{2})

nên

V_{B D A' M} = \frac{1}{6} |[\vec{B A'}, \vec{B D}] . \vec{B M}| = \frac{a^{2} b}{4}

.
Ta có:

a . a . (2 b) \leq {(\frac{a + a + 2 b}{3})}^{3} = \frac{64}{27} \Rightarrow a^{2} b \leq \frac{32}{27} \Rightarrow V_{B D A' M} \leq \frac{8}{27}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi