Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ sao cho bất phương trình $\frac{x^{3} + \sqrt{3 x^{2} + 1} + 1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} \leq \frac{m}{{(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{2}}$ có nghiệm.

m = 1

m = 8

m = 4

m = 13

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Điều kiện:

\{\begin{cases} x \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \\ \sqrt{x} - \sqrt{x - 1} \neq 0 \\ \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 1

.
Khi đó, ta có

\frac{x^{3} + \sqrt{3 x^{2} + 1} + 1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} \leq \frac{m}{{(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{2}}

\Leftrightarrow m \geq \frac{(x^{3} + \sqrt{3 x^{2} + 1} + 1) {(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}}

\Leftrightarrow m \geq (x^{3} + \sqrt{3 x^{2} + 1} + 1) {(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{3}

.
Xét các hàm số

f (x) = x^{3} + \sqrt{3 x^{2} + 1} + 1

và

g (x) = {(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{3}

trên

[1; + \infty)

.
Ta có

f^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{3 x}{\sqrt{3 x^{2} + 1}} > 0

và

g^{'} (x) = 3 {(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{2} \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}) > 0

\forall x > 1

.
Suy ra các hàm số

y = f (x)

và

y = g (x)

đều đồng biến trên

[1; + \infty)

.
Từ đó ta có

f (x) \geq f (1) = 4

và

g (x) \geq g (1) = 1

.
Suy ra

(x^{3} + \sqrt{3 x^{2} + 1} + 1) {(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{3} = f (x) . g (x) \geq 4

.
Khi

x = 1

thì

(x^{3} + \sqrt{3 x^{2} + 1} + 1) {(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{3} = 4

.
Điều kiện để bất phương trình có nghiệm là

m \geq \min_{[1; + \infty)} \{(x^{3} + \sqrt{3 x^{2} + 1} + 1) {(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}^{3}\} = 4

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi