Tìm phần ảo $b$ của số phức $w = 1 + (1 + i) + {(1 + i)}^{2} + {(1 + i)}^{3} + . . . + {(1 + i)}^{2018}$ .

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

b = 2^{1009} - 1

b = 2^{2019} + 1

b = 2^{1009}

b = 2^{1009} + 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Dễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có

2019

số hạng, trong đó số hạng đầu tiên

u_{1} = 1

, công bội

q = 1 + i

Do đó

w = u_{1} . \frac{1 - q^{2019}}{1 - q} = 1. \frac{1 - {(1 + i)}^{2019}}{1 - (1 + i)} = \frac{1 - {(1 + i)}^{2019}}{- i}

.
Ta có

{(1 + i)}^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i

.
Suy ra

\begin{array}{l} {(1 + i)}^{2019} = {[{(1 + i)}^{2}]}^{1009} . (1 + i) = {(2 i)}^{1009} (1 + i) = 2^{1009} . i^{1009} . (1 + i) \\ = 2^{1009} . i . (1 + i) = 2^{1009} . (- 1 + i) \end{array}

.
Vậy

w = \frac{1 - {(1 + i)}^{2019}}{- i} = \frac{1 - 2^{1009} . (- 1 + i)}{- i} = \frac{i . [1 - 2^{1009} . (- 1 + i)]}{1} = 2^{1009} + (2^{1009} + 1) i

. Chọn D

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi