Trong không gian $Ox y z$ ,cho ba điểm $A (2; 3; 1), B (- 1; 2; 0), C (1; 1; - 2) .$ $H$ là trực tâm tam giác $A B C$ ,độ dài $O H$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\frac{\sqrt{870}}{14}

\frac{\sqrt{870}}{16}

\frac{\sqrt{870}}{15}

\frac{\sqrt{870}}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Gọi

H (a; b; c)

là trực tâm

Δ A B C

H là trực tâm

Δ A B C

\Leftrightarrow \{\begin{cases} H \in (A B C) \\ A H ⊥ B C \\ B H ⊥ A C \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} H \in (A B C) \\ \vec{A H} ⊥ \vec{B C} \\ \vec{B H} ⊥ \vec{A C} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} H \in (A B C) \\ \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \end{cases} (1)

+ Ta có:

\vec{A B} = (- 3; - 1; - 1), \vec{A C} = (- 1; - 2; - 3)

.
+ Mặt phẳng

(A B C) : \{\begin{cases} q u a A (2; 3; 1) \\ V T P T : \vec{n} = [\vec{A B} . \vec{A C}] = (1; - 8; 5) \end{cases}

có phương trinh:

(x - 2) - 8 (y - 3) + 5 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 8 y + 5 z + 17 = 0

\vec{A H} = (a - 2; b - 3; c - 1), \vec{B C} = (2; - 1; - 2) \Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 2 a - b - 2 c + 1

\vec{B H} = (a + 1; b - 2; c), \vec{A C} = (- 1; - 2; - 3) \Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = - a - 2 b - 3 c + 3

Hệ

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 8 b + 5 c + 17 = 0 \\ 2 a - b - 2 c + 1 = 0 \\ - a - 2 b - 3 c + 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{15} \\ b = \frac{29}{15} \\ c = - \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow H (\frac{2}{15}; \frac{29}{15}; - \frac{1}{3})

Vậy

O H = \sqrt{{(\frac{2}{15})}^{2} + {(\frac{29}{15})}^{2} + {(- \frac{1}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{870}}{15} .

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi