Trong không gian $O x y z$ , cho hai mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$ và $(S^{'}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 1$ . Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc $(S^{'})$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $6 π$ . Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

\frac{8}{9}

\frac{14}{3}

\frac{17}{7}

\frac{19}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

+) Mặt cầu

(S)

có tâm

I (0; 0; 1)

và bán kính

R = 5

.
+) Mặt cầu

(S^{'})

có tâm

I^{'} (1; 2; 3)

và bán kính

R^{'} = 1

.
+) Gọi

H, K

lần lượt là hình chiếu của

I

và

I^{'}

lên mặt phẳng

(P)

,.
+) Mặt phẳng

(P)

cắt

(S)

theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng

6 π

\Rightarrow

Bán kính đường tròn giao tuyến

r = 3

\Rightarrow d (I, (P)) = I H = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4

.
+) Mặt phẳng

(P)

tiếp xúc

(S^{'})

\Leftrightarrow d (I^{'}, (P)) = I^{'} K = R^{'} = 1

.
+ Có

I I^{'} = 3

. Ta thấy

I I^{'} + I^{'} K = 3 + 1 = 4 = I H

.
+) Mà

I I^{'} + I^{'} K \geq I K \geq I H

, dấu

" = "

xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} H \equiv K \\ I^{'} \in I H \end{cases}

\Rightarrow

Phương trình

(P)

có dạng:

x + 2 y + 2 z + m = 0

.
Ta có

\{\begin{cases} d (I, (P)) = 4 \\ d (I^{'}, (P)) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{|2 + m|}{3} = 4 \\ \frac{|11 + m|}{3} = 1 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m = 10 \\ m = - 14 \end{array} \\ [\begin{array}{l} m = - 8 \\ m = - 14 \end{array} \end{cases}

\Leftrightarrow m = - 14

.
Vậy phương trình

(P) : x + 2 y + 2 z - 14 = 0

\Rightarrow d (O, (P)) = \frac{14}{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi