Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $A (1; 2; - 1)$ , $B (0; 4; 0)$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2 x - y - 2 z + 2017 = 0$ . Mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A$ , $B$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc nhỏ nhất. $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(Q)}} = (1; a; b)$ , khi đó $a + b$ bằng

0

1

- 2

4

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

\vec{A B} = (- 1; 2; 1)

.
Mặt phẳng

(Q)

đi qua hai điểm

A

B

và có vectơ pháp tuyến

\vec{n_{(Q)}} = (1; a; b)

nên ta có

\vec{A B} . \vec{n_{(Q)}} = 0

\Leftrightarrow 2 a + b = 1

\Leftrightarrow b = 1 - 2 a

.
Suy ra

\vec{n_{(Q)}} = (1; a; 1 - 2 a)

.
Khi đó

\cos ((P), (Q)) = \frac{|\vec{n_{(P)}} . \vec{n_{(Q)}}|}{|\vec{n_{(P)}}| . |\vec{n_{(Q)}}|}

= \frac{|2. 1 + (- 1) . a - 2 (1 - 2 a)|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}} \sqrt{1^{2} + a^{2} + {(1 - 2 a)}^{2}}}

= \frac{|a|}{\sqrt{5 a^{2} - 4 a + 2}}

= \sqrt{\frac{a^{2}}{5 a^{2} - 4 a + 2}}

\cdot

Xét hàm số

f (a) = \frac{a^{2}}{5 a^{2} - 4 a + 2}

, ta có góc giữa

(P)

và

(Q)

nhỏ nhất

\Leftrightarrow \cos ((P), (Q))

lớn nhất

\Leftrightarrow f (a)

đạt giá trị lớn nhất.
Ta có:
Tập xác định

D = ℝ

f^{'} (a) = \frac{- 4 a^{2} + 4 a}{{(5 a^{2} - 4 a + 2)}^{2}}

\cdot

Cho

f^{'} (a) = 0 \Rightarrow - 4 a^{2} + 4 a = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 (f (0) = 0) \\ a = 1 (f (1) = \frac{1}{3}) \end{array}

.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

\cos ((P), (Q))

lớn nhất

\Leftrightarrow a = 1

.
Suy ra

b = - 1

.
Vậy

a + b = 0

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi