Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M (9; 1; 1)$ cắt các tia $O x, O y, O z$ tại $A, B, C$ ( $A, B, C$ không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện $O A B C$ đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

\frac{81}{2}

\frac{243}{2}

\frac{81}{6}

243

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Giả sử

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

với

a, b, c > 0

.
Mặt phẳng

(P)

có phương trình :

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

.
Vì mặt phẳng

(P)

đi qua điểm

M (9; 1; 1)

nên

\frac{9}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

.
Ta có

1 = \frac{9}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{9}{a . b . c}} \Rightarrow a . b . c \geq 243

V_{O A B C} = \frac{1}{6} a . b . c \geq \frac{243}{6} = \frac{81}{2} .

Vậy thể tích tứ diện

O A B C

đạt giá trị nhỏ nhất là

\frac{81}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi