[2D2-5. 6-3] Tính số nghiệm của phương trình $\cot x = 2^{x}$ trong khoảng $(\frac{11 π}{12}; 2019 π)$

A. 2020.

B. 2019.

C. 2018.

D. 1.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Tác giả:Phạm Thị Phương Thúy; Fb: thuypham
Chọn C
Điều kiện:

x \neq k π

k \in ℤ

. Ta có

\cot x = 2^{x} \Leftrightarrow \cot x - 2^{x} = 0

(1)

Xét hàm số

f (x) = \cot x - 2^{x}

trên

(\frac{11 π}{12}; π), (π; 2 π), . . ., (2018 π; 2019 π)

.
Có

f^{'} (x) = - \frac{1}{\sin^{2} x} - 2^{x} . \ln 2 < 0

\forall x \in (\frac{11 π}{12}; π), (π; 2 π), . . ., (2018 π; 2019 π)

\Rightarrow

Hàm số

f (x)

nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Trên

(\frac{11 π}{12}; π)

ta có

f (x) < f (\frac{11 π}{12}) \Rightarrow f (x) < \cot (\frac{11 π}{12}) - 2^{\frac{11 π}{12}} < 0

\Rightarrow

f (x) = 0

vô nghiệm.
Ta có hàm số

f (x)

nghịch biến trên từng khoảng

(π; 2 π), . . ., (2018 π; 2019 π)

và trên mỗi khoảng đó hàm số có tập giá trị là

ℝ

Suy ra trên mỗi khoảng

(π; 2 π), . . ., (2018 π; 2019 π)

, phương trình

f (x) = 0

có nghiệm duy nhất. Vậy phương trình

(1)

có 2018 nghiệm.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học