) Cho cấp số cộng $(a_{n})$ , cấp số nhân $(b_{n})$ , thỏa mãn $a_{2} > a_{1} \geq 0$ , $b_{2} > b_{1} \geq 1$ và hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x$ sao cho $f (a_{2}) + 2 = f (a_{1})$ và $f (\log_{2} b_{2}) + 2 = f (\log_{2} b_{1})$ . Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $b_{n} > 2019 a_{n}$ .

A.17.

B.14.

C.15.

D.16.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Giả thiết

a_{2} > a_{1} \geq 0 \Rightarrow \{\begin{cases} d = a_{2} - a_{1} > 0 \\ a_{2} = a_{1} + d \end{cases}

f (a_{2}) + 2 = f (a_{1}) \Leftrightarrow f (a_{1} + d) + 2 = f (a_{1}) \Leftrightarrow {(a_{1} + d)}^{3} - 3 (a_{1} + d) + 2 = a_{1}^{3} - 3 a_{1}

\Leftrightarrow 3 a_{1} d (a_{1} + d) + {(d - 1)}^{2} (d + 2) = 0

(a_{1} + d > 0, d + 2 > 0)

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{1} = 0 \\ d = 1 \end{cases}

. Khi đó

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = n - 1

.
Giả thiết

b_{2} > b_{1} \geq 1 \Rightarrow \{\begin{cases} q = \frac{b_{2}}{b_{1}} > 1 \\ b_{2} = b_{1} q \end{cases} \Rightarrow \log_{2} (b_{2}) = \log_{2} (b_{1} q) = \log_{2} b_{1} + \log_{2} q

Đặt

t_{2} = \log_{2} b_{2}, t_{1} = \log_{2} b_{1}, a = \log_{2} q

f (t_{2}) + 2 = f (t_{1}) \Leftrightarrow t_{2}^{3} - 3 t_{2} + 2 = t_{1}^{3} - 3 t_{1} \Leftrightarrow 3 a t_{1} (t_{1} + a) + {(a - 1)}^{2} (a + 2) = 0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} = 0 \\ a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log_{2} b_{1} = 0 \\ \log_{2} q = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b_{1} = 1 \\ q = 2 \end{cases}

. Khi đó

b_{n} = b_{1} . q^{n - 1} = 2^{n - 1}

b_{n} > 2019 a_{n} \Leftrightarrow 2^{n - 1} > 2019 (n - 1) \Leftrightarrow n > 15, 874

.
Vậy

n = 16

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học