Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} > 1$ và $\log_{a^{2} + b^{2}} (a + b) \geq 1.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 2 a + 4 b - 3$ bằng

\frac{1}{\sqrt{10}} .

\frac{\sqrt{10}}{2} .

\sqrt{10} .

2 \sqrt{10} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải. Ta có

\log_{a^{2} + b^{2}} (a + b) \geq 1 \overset{a^{2} + b^{2} > 1}{\leftrightarrow} a + b \geq a^{2} + b^{2} \Leftrightarrow {(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{2} .

Ta có

a + 2 b = [(a - \frac{1}{2}) + 2 (b - \frac{1}{2})] + \frac{3}{2} .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky, ta có

{[(a - \frac{1}{2}) + 2 (b - \frac{1}{2})]}^{2} \leq (1^{2} + 2^{2}) [{(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b - \frac{1}{2})}^{2}] \leq 5. \frac{1}{2} = \frac{5}{2} .

Do đó

(a - \frac{1}{2}) + 2 (b - \frac{1}{2}) \leq \frac{\sqrt{10}}{2} \overset{}{\to} a + 2 b \leq \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{3}{2} \overset{}{\to} P = 2 a + 4 b - 3 \leq \sqrt{10} .

Dấu

" = "

xảy ra

\Leftrightarrow a = \frac{5 + \sqrt{10}}{10}; b = \frac{5 + 2 \sqrt{10}}{10} .

Chọn C
Cách 2. Ta thấy

(1)

là hình tròn tâm

I (\frac{1}{2}; \frac{1}{2})

, bán kính

R = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Ta có

P = 2 a + 4 b - 3 \Leftrightarrow Δ : 2 a + 4 b - 3 - P = 0.

Xem đây là phương trình đường thẳng.
Để đường thẳng và hình tròn có điểm chung

\Leftrightarrow d [I, Δ] \leq R

\Leftrightarrow \frac{|2. \frac{1}{2} + 4. \frac{1}{2} - 3 - P|}{\sqrt{4 + 16}} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow |P| \leq \sqrt{10} \overset{}{\to} P \leq \sqrt{10} .

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học