Cho hình chóp đều $S . A B C$ có $S A = a$ . Gọi $D, E$ lần lượt là trung điểm của $S A, S C$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ theo $a$ , biết $B D$ vuông góc với $A E$ .

\frac{a^{3} \sqrt{21}}{54}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

\frac{a^{3} \sqrt{7}}{27}

\frac{a^{3} \sqrt{21}}{27}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

F

là trung điểm

S E

\Rightarrow B D ⊥ D F

; gọi

A B = x

Ta có

B E^{2} = B D^{2} = A E^{2} = \frac{2 A S^{2} + 2 A C^{2} - S C^{2}}{4} = \frac{2 a^{2} + 2 x^{2} - a^{2}}{4} = \frac{a^{2} + 2 x^{2}}{4}

\begin{array}{l} B F^{2} = \frac{2 B S^{2} + 2 B E^{2} - S E^{2}}{4} = \frac{2 a^{2} + \frac{a^{2} + 2 x^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}}{4} = \frac{9 a^{2} + 4 x^{2}}{16} \\ B F^{2} = B D^{2} + D F^{2} \Leftrightarrow B F^{2} = \frac{5 B D^{2}}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{9 a^{2} + 4 x^{2}}{16} = \frac{5}{4} . \frac{a^{2} + 2 x^{2}}{4} \Leftrightarrow 9 a^{2} + 4 x^{2} = 5 a^{2} + 10 x^{2} \Leftrightarrow 4 a^{2} = 6 x^{2} \Rightarrow x = a \sqrt{\frac{2}{3}} \end{array}

Gọi

H

là hình chiếu của

S

lên

(A B C)

khi đó

H

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

\Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{2}{3} . \frac{x \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{3}

Tam giác

A B C

đều có cạnh là

x \Rightarrow

S_{Δ A B C} = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}

Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{7}}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{21}}{54}

Hoặc sử dụng công thức tính thể tích chóp tam giác

A B C

đều có cạnh bên bằng

a

, cạnh đáy bằng

x

V_{S . A B C} = \frac{x^{2} . \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}}{12} = \frac{{\frac{2 a}{3}}^{2} \sqrt{3 a^{2} - {\frac{2 a}{3}}^{2}}}{12} = \frac{a^{3} \sqrt{21}}{54}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học