Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác $A B C$ vuông cân ở $B$ , $A C = a \sqrt{2}$ , $S A ⊥ (A B C)$ , $S A = a$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $S B C$ , mặt phẳng $(α)$ đi qua $A G$ và song song với $B C$ chia khối chóp thành hai phần. Gọi $V$ là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh $S$ . Tính $V$ .

\frac{4 a^{3}}{9}

\frac{4 a^{3}}{27}

\frac{5 a^{3}}{54}

\frac{2 a^{3}}{9}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Trong mặt phẳng

(S B C)

kẻ đường thẳng qua

G

song song với

B C

, cắt

S B

S C

lần lượt tại

B^{'}

C^{'}

. Khi đó mặt phẳng

(α)

trùng với mặt phẳng

(A B^{'} C^{'})

.
Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng

B C

S B

.
Đặt

B A = B C

= x > 0

. Theo định lý Pitago trong tam giác

A B C

vuông tại

B

, ta có:

A C^{2} = B A^{2} + B C^{2}

\Rightarrow {(a \sqrt{2})}^{2} = x^{2} + x^{2}

\Rightarrow x^{2} = a^{2}

\Rightarrow x = a

.
Diện tích tam giác

A B C

là:

S_{A B C} = \frac{1}{2} . B A . B C

= \frac{a^{2}}{2}

.
Thể tích khối chóp

S . A B C

là:

V_{S . A B C}

= \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A

= \frac{1}{3} . \frac{a^{2}}{2} . a

= \frac{a^{3}}{6}

.
Ta lại có:

\frac{S B^{'}}{S B}

= \frac{S C^{'}}{S C}

= \frac{S G}{S M}

= \frac{2}{3}

.
Suy ra:

\frac{V_{S . A B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}}

= \frac{S A}{S A} . \frac{S B^{'}}{S B} . \frac{S C^{'}}{S C}

= 1. \frac{2}{3} . \frac{2}{3}

= \frac{4}{9}

.
Vì thế,

V_{S . A B^{'} C^{'}}

= \frac{4}{9} . V_{S . A B C}

= \frac{4}{9} . \frac{a^{3}}{6}

= \frac{2 a^{3}}{27}

.
Vậy

V

= V_{S . A B C} - V_{S . A B^{'} C^{'}}

= \frac{a^{3}}{6} - \frac{2 a^{3}}{27}

= \frac{5 a^{3}}{54}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học