Cho hình nón $(N)$ có đỉnh $S$ , mặt phẳng $(P)$ qua đỉnh $S$ hợp với trục của hình nón một góc $30 °$ . Thiết diện của hình nón với mặt phẳng $(P)$ là một tam giác có diện tích bằng $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ . Khoảng cách từ tâm $O$ của đáy hình nón đến $(P)$ bằng $\frac{a}{2}$ . Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho.

V = \frac{43 π a^{3}}{144}

V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}

V = \frac{43 π a^{3}}{48}

V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{6} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải

Đặt chiều cao

S O = h

. Gọi thiết diện là

Δ S A B

I

là trung điểm

A B

. Kẻ

O K ⊥ S I

tại

K

. Suy ra

O K ⊥ (S A B)

O K = \frac{a}{2}

và

\hat{O S I} = 30^{0}

và . Suy ra :

S I = \frac{2 h}{\sqrt{3}}

và

I O = \frac{h}{\sqrt{3}}

.
Ta có:

\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{I O^{2}} + \frac{1}{S O^{2}} \Leftrightarrow \frac{4}{a^{2}} = \frac{3}{h^{2}} + \frac{1}{h^{2}} \Rightarrow h = a

. Khi đó:

S O = a, S I = \frac{2 a}{\sqrt{3}}, O I = \frac{a}{\sqrt{3}}

.
Lại có:

S_{S A B} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = A I . S I \Leftrightarrow I A . \frac{2 a}{\sqrt{3}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} \Rightarrow I A = \frac{3 a}{4}

.
Khi đó bán kính đường tròn đáy là:

R = \sqrt{I O^{2} + I A^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{3} + \frac{9 a^{2}}{16}} = a \sqrt{\frac{43}{48}}

.
Vậy thể tích khối nón đã cho là:

V = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} . π . \frac{43 a^{2}}{48} . a = \frac{43}{144} π a^{3}

\Rightarrow

Chọn đáp án A

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học