Câu hỏi Toán học

Cho hình trụ có trục , bán kính đáy và chiều cao . Hai điểm , di động trên đường tròn đáy sao cho là tam giác đều. Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng . Khi , di động trên đường tròn thì đoạn thẳng tạo thành mặt xung quanh của một hình nón, tính diện tích của mặt này.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

K

là trung điểm của

M N

,

là tam giác đều

\Rightarrow

O K = \frac{r \sqrt{3}}{2}

.

Δ O K O^{'}

vuông tại

O

\Rightarrow

\frac{1}{O H^{^{2}}} = \frac{1}{O K^{2}} + \frac{1}{O {O^{'}}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{r \sqrt{3}}{2})}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{3 r}{2})}^{2}}

\Rightarrow

O H = \frac{3 r}{4}

.
Ta có

O^{'} K = \sqrt{O {O^{'}}^{2} + O K^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 r}{2})}^{2} + {(\frac{r \sqrt{3}}{2})}^{2}} = r \sqrt{3}

;

O^{'} H = \frac{O {O^{'}}^{2}}{O^{'} K} = \frac{{(\frac{3 r}{2})}^{2}}{r \sqrt{3}} = \frac{3 r \sqrt{3}}{4}

.
Gọi

I

là hình chiếu của

H

lên

O O^{'}

\Rightarrow

\frac{H I}{O K} = \frac{O^{'} H}{O^{'} K} = \frac{\frac{3 r \sqrt{3}}{4}}{r \sqrt{3}} = \frac{3}{4}

\Rightarrow

H I = \frac{3}{4} O K = \frac{3}{4} . \frac{r \sqrt{3}}{2} = \frac{3 r \sqrt{3}}{8}

.
Diện tích xung quanh mặt nón tạo thành là:

S = π R l = π . H I . O H = π . \frac{3 r \sqrt{3}}{8} . \frac{3 r}{4} = \frac{9 \sqrt{3} π r^{2}}{32}

.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 45 phút Khối nón: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích khối nón - Toán Học 12 - Đề số 4

Làm bài