[DS12. C1. 3. D05. c] Cho x, y là những số thực thỏa mãn $x^{2} - x y + y^{2} = 1$ . Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ . Giá trị của $A = M + 15 m$ là

A = 17 - 2 \sqrt{6}

A = 17 - \sqrt{6}

A = 17 + \sqrt{6}

A = 17 + 2 \sqrt{6}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Đặt , ta có

x^{2} + y^{2} = 1 + x y = t - 1

{(x - y)}^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \Rightarrow t - 1 \geq 2 (t - 2) \Rightarrow t \leq 3

{(x + y)}^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x y \geq 0 \Rightarrow t - 1 + 2 (t - 2) \geq 0 \Rightarrow t \geq \frac{5}{3}

Các dấu bằng đều xảy ra nên

t \in [\frac{5}{3}; 3]

Ta có

x^{2} + y^{2} + 1 = 2 + x y = 2 + (t - 2) = t

;

x^{4} + y^{4} + 1 = {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 1 = {(t - 1)}^{2} - 2 {(t - 2)}^{2} + 1 = - t^{2} + 6 t - 6

Do đó

P = - t + 6 - \frac{6}{t}

; xét hàm

f (t) = - t - \frac{6}{t} + 6

có

f' (t) = - 1 + \frac{6}{t^{2}} = \frac{(\sqrt{6} - t) (\sqrt{6} + t)}{t^{2}}

f (\frac{5}{3}) = \frac{11}{15}; f (3) = 1; f (\sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}

. Do đó

m = \min_{[\frac{5}{3}; 3]} P = \frac{11}{15}; M = \max_{[\frac{5}{3}; 3]} P = 6 - 2 \sqrt{6}

A = M + 15 m = 17 - 2 \sqrt{6}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học