[ Mức 4] Có bao nhiêu căp số nguyên $(x; y)$ thóa mãn $2 \leq x \leq 2021$ và $2^{y} - \log_{2} (x + 2^{y - 1}) = 2 x - y ?$

A.2019.

B.2020.

C.9.

D.10.

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải:

\begin{array}{l} 2^{y} - \log_{2} (x + 2^{y - 1}) = 2 x - y \Leftrightarrow 2^{y} + y = 2 x + \log_{2} (x + 2^{y - 1}) \\ \Leftrightarrow {2. 2}^{y} + y = 2 (x + 2^{y - 1}) + \log_{2} (x + 2^{y - 1}) \\ \Leftrightarrow {2. 2}^{y} + y = {2. 2}^{\log_{2} (x + 2^{y - 1})} + \log_{2} (x + 2^{y - 1}) \end{array}

Xét hàm đặc trưng:

\begin{array}{l} f (t) = {2. 2}^{t} + t \\ f' (t) = {2. 2}^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ \end{array}

Suy ra:

y = \log_{2} (x + 2^{y - 1}) \Leftrightarrow 2^{y} = x + 2^{y - 1} \Leftrightarrow x = 2^{y} - 2^{y - 1}

với

2 \leq x \leq 2021

ta có:

2 \leq \frac{2^{y}}{2} \leq 2021 \Leftrightarrow 2 \leq y \leq \log_{2} 4042 \approx 11, 98

, Vậy có 10 cặp số só nguyên

(x; y)

thóa mãn

2 \leq x \leq 2021

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học