Cho hình nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $2 a$ . Một mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh của hình nón, cắt đường tròn đáy tại $A$ và $B$ sao cho $A B = 2 \sqrt{3} a$ . Biết khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Khi đó thể tích khối nón bằng:

\frac{4}{3} π a^{3}

\frac{4 \sqrt{3}}{3} π . a^{3}

\frac{2 \sqrt{3}}{3} π . a^{3}

\frac{4 \sqrt{21}}{21} π . a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

O

là tâm của đường tròn đáy của hình nón.
Gọi

H

là trung điểm của

A B

\Rightarrow O H ⊥ A B

.
Trong mp

(S O H)

kẻ

O K ⊥ S H

.
Ta có

\{\begin{cases} A B ⊥ O H \\ A B ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S O H) \Rightarrow A B ⊥ O K

.
Lại có

\{\begin{cases} O K ⊥ S H \\ O K ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow O K ⊥ (S A B)

\Rightarrow d (O; (S A B)) = O K = \frac{a \sqrt{3}}{2}

O H = \sqrt{O A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - 3 a^{2}} = a

\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} \Rightarrow \frac{1}{S O^{2}} = \frac{1}{O K^{2}} - \frac{1}{O H^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} - \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}}

\Rightarrow S O = a \sqrt{3}

.
Thể tích của hình nón là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π . 4 a^{2} . a \sqrt{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} π . a^{3}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học