[Mức độ 2] Cho hình nón có chiều cao bằng $5 a$ . Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và tạo với trục một góc $30^{o}$ , thiết diện thu được là một tam giác cân có cạnh đáy bẳng $2 a$ . Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

\frac{140 π}{3} a^{3}

\frac{152 π}{3} a^{3}

\frac{125 π}{9} a^{3}

\frac{140 π}{9} a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải

Mặt phẳng đi qua đỉnh nón

S

cắt hình nón theo thiết diện là

Δ S A B

cân tại

S

và có cạnh đáy

A B = 2 a

.
Dựng

O D ⊥ A B \Rightarrow

D

là trung điểm của

A B

.
Ta có:

\{\begin{cases} O D ⊥ A B \\ S O ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S O D) \Rightarrow (S A B) ⊥ (S O D)

.
Trong mp

(S O D)

, từ

O

dựng

O H ⊥ S D (H \in S D)

\Rightarrow O H ⊥ m p (S A B)

, nên hình chiếu của

S O

lên

m p (S A B)

là

S H

.
Do đó góc giữa

S O

và

m p (S A B)

là góc

\hat{H S O}

hay

\hat{D S O}

\Rightarrow \hat{D S O} = 30^{o}

.
Xét tam giác

S D O

vuông tại

O

O D = \tan 30^{0} . S O = \frac{1}{\sqrt{3}} . 5 a = \frac{5 a}{\sqrt{3}}

.
Gọi

R

là bán kính của đường tròn đáy của hình nón.
Thể tích của khối nón đã cho là:

V = \frac{1}{3} S O . π R^{2}

Áp dụng đinh lý Pytago cho tam giác vuông

A O D

ta có:

O A^{2} = O D^{2} + D A^{2} = O D^{2} + {(\frac{A B}{2})}^{2} = {(\frac{5 a}{\sqrt{3}})}^{2} + a^{2} = \frac{28 a^{2}}{3} \Rightarrow R^{2} = \frac{28 a^{2}}{3}

.
Vậy thể tích khối nón là

V = \frac{1}{3} S O . π R^{2} = \frac{1}{3} . 5 a . π \frac{28 a^{2}}{3} = \frac{140 π}{9} a^{3}

( đvtt).

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học