Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z,$ cho đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = - 2 + t \end{cases}, M (1; 2; - 1),$ mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 10 y + 14 z + 64 = 0.$ Gọi $Δ^{'}$ là đường thẳng đi qua điểm $M$ cắt $Δ$ tại điểm $A,$ cắt mặt cầu tại $B$ sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}$ và điểm $B$ có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng trung trực của đoạn $A B$ có phương trình là

2 x - 4 y - 4 z - 19 = 0

3 x - 6 y - 6 z - 62 = 0

2 x - 4 y - 4 z - 43 = 0

3 x - 6 y - 6 z - 31 = 0

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải

A \in Δ \Rightarrow A (3 + t; - 1 - t; - 2 + t)

Gọi

B (x; y; z) \Rightarrow \vec{M B} = (x - 1; y - 2; z + 1), \vec{M A} = (2 + t; - 3 - t; - 1 + t)

Ta có hai trường hợp sau
TH1:

\vec{A B} = 3 \vec{A M} \Leftrightarrow \vec{M B} = - 2 \vec{M A} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = - 2 (2 + t) \\ y - 2 = - 2 (- 3 - t) \\ z + 1 = - 2 (- 1 + t) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 t - 3 \\ y = 2 t + 8 \\ z = - 2 t + 1 \end{cases}

Ta lại có

\begin{array}{l} B \in (S) \Leftrightarrow {(- 2 t - 3)}^{2} + {(2 t + 8)}^{2} + {(- 2 t + 1)}^{2} - 4 (- 2 t - 3) + 10 (2 t + 8) + 14 (- 2 t + 1) + 64 = 0. \\ \Leftrightarrow 4 t^{2} + 12 t + 9 + 4 t^{2} + 32 t + 64 + 4 t^{2} - 4 t + 1 + 8 t + 12 + 20 t + 80 - 28 t + 14 + 64 = 0. \\ \Leftrightarrow 12 t^{2} + 40 t + 244 = 0 (VN) . \end{array}

TH2:

\vec{A B} = - 3 \vec{A M} \Leftrightarrow \vec{M B} = 4 \vec{M A} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 4 (2 + t) \\ y - 2 = 4 (- 3 - t) \\ z + 1 = 4 (- 1 + t) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 t + 9 \\ y = - 4 t - 10 \\ z = 4 t - 5 \end{cases}

Ta lại có

\begin{array}{l} B \in (S) \Leftrightarrow {(4 t + 9)}^{2} + {(- 4 t - 10)}^{2} + {(4 t - 5)}^{2} - 4 (4 t + 9) + 10 (- 4 t - 10) + 14 (4 t - 5) + 64 = 0 \\ \Leftrightarrow 16 t^{2} + 72 t + 81 + 16 t^{2} + 80 t + 100 + 16 t^{2} - 40 t + 25 - 16 t - 36 - 40 t - 100 + 56 t - 70 + 64 = 0 \\ \Leftrightarrow 48 t^{2} + 112 t + 64 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \Rightarrow B (5; - 6; - 9) \\ t = - \frac{4}{3} \Rightarrow B (\frac{11}{3}; - \frac{14}{3}; - \frac{31}{3}) (L) \end{array} \end{array}

\Rightarrow A (2; 0; - 3) \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{A B} = (3; - 6; - 6) = 3 (1; - 2; - 2) \\ N (\frac{7}{2}; - 3; - 6) \end{cases} \Rightarrow (P) : x - \frac{7}{2} - 2 (y + 3) - 2 (z + 6) = 0

\Rightarrow (P) : 2 x - 4 y - 4 z - 43 = 0

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học